[APOSTILA] Lógica

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do site: Fábio Henrique

[LÓGICA] Bicondicionais

Bicondicionais

As bicondicionais também podem ser conhecidas como implicações duplas. Quando “p” implica “q” e “q” implica “p”, temos essa operação. Ela é indicada por p <-> q . Logicamente, é equivalente a (p -> q) ^(q -> p).

A operação p <-> q pode ser lida como “p se e somente se q”.

Veja a tabela abaixo, que foi mostrada no último artigo:

(p -> q) ^ (q -> p)

p	q	(p -> q)	(q -> p)	(p -> q) ^ (q -> p)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

De acordo com ela, sabemos que com as duplas implicações os resultados serão verdadeiros se as proposições trabalhadas tiverem o mesmo valor (caso sejam ambas verdadeiras, ou ambas falsas) e serão falsos caso sejam diferentes.

O resultado da última coluna (p -> q) ^ (q -> p) é igual ao resultado de (p <-> q)

Classificações

As operações lógicas podem receber uma classificação de acordo com os resultados que escrevermos na última coluna da tabela verdade que encontramos quando testamos todas as possibilidades com Verdadeiro e Falso.

Se os resultados são SEMPRE VERDADEIROS, temos uma tautologia. Por outro lado, se todos os resultados são SEMPRE FALSOS, trata-se de uma contradição. Se os resultados variam, é uma tabela verdade contingente.

Veja um exemplo de tautologia. Para qualquer valor que seja dado a “p” ou a “q”, sempre vai dar um resultado Verdadeiro:
(p -> q) v p

p	q	(p -> q)	(p -> q) v p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	V	V
F	F	V	V

Veja mais exemplos de proposições bem simples mas que só observando já podemos definir se são tautológicas ou contraditórias.

(~p v p): veja que essa operação acabará tendo um valor verdadeiro e um valor falso para “p”, e como são comparadas com um “ou”, sempre terá resultado Verdadeiro. Sempre podemos “ter uma coisa ou não tê-la ao mesmo tempo”. É o mesmo que dizer “Eu sou alto ou eu não sou alto”

(~p ^p): essa é contraditória, pois não há possibilidade de considerarmos verdade uma sentença de “ter uma coisa e não tê-la ao mesmo tempo”. É como dizer “Maria é alta e Maria não é alta”.

Vou parar com as explicações por aqui, pois no próximo artigo vou falar um pouco sobre resolução de alguns problemas lógicos por meio de demonstrações e uso de métodos dedutivos, usando os conceitos de conjunções, disjunções, implicações e duplas implicações. Agora, para ir treinando o raciocínio, ficam alguns problemas legais de lógica:

01 - Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo C é B

b) todo C é A

c) algum A é C

d) nada que não seja C é A

e) algum A não é C

02 - Um grupo formado por 5 moças e 5 rapazes deve se sentar em 5 bancos que possuem 2 assentos cada um. Porém, todo banco deve ser ocupado por casais, ou seja, não podem se sentar dois rapazes e duas moças no mesmo banco. Como você calcularia e quantas são as maneiras possíveis de ocupação dos assentos?

03 - De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:
a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano

04 - Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre
b) D não ocorre ou A não ocorre
c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem
e) B não ocorre ou A não ocorre

05 -Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: “Sou inocente”
Celso: “Edu é o culpado”
Edu: “Tarso é o culpado”
Juarez: “Armando disse a verdade”
Tarso: “Celso mentiu”
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é:
a) Armando
b) Celso
c) Edu
d) Juarez
e) Tarso

Resultados na próxima postagem

por: Marcelo Vieira

em: Guanabara.info

[LÓGICA] Implicação

A única função da implicação lógica (p -> q, onde “p” é o antecedente e “q” é o conseqüente) é afirmar o conseqüente no caso do antecedente ser verdadeiro.

No dia-a-dia, usamos frases com condições muitas vezes. Um exemplo comum é a frase “Se hoje chover, então ficarei em casa“. Observe que a frase condicional só pode ser considerada falsa se hoje chover, mas eu não ficar em casa. Se acontecer de não chover hoje, deve-se considerar que a frase condicional é verdadeira e não falsa, além de obviamente se hoje chover e eu ficar em casa ser verdade.

Ou seja, se não chover, não importa se eu ficar em casa ou se eu não ficar em casa: a frase condicional será verdadeira, pois o meu antecedente já não é verdadeiro, então não há conclusões para o caso.

Essa é a idéia da implicação. Se considerarmos “hoje choverá” como uma proposição “p” e “ficarei em casa” como uma proposição “q“, temos a operação lógica p -> q (lê-se “p implica q”). E essa, de acordo com as idéias acima, só é falsa quando “p” é verdadeiro e “q” é falso.

Resumindo e fixando: a implicação lógica só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, e verdadeira nos demais casos.

Assim, a Tabela Verdade de uma implicação lógica fica:

p	q	(p -> q)
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Agora, vamos complicar um pouco mais. Veja abaixo como fica a Tabela Verdade de (p ^ q) -> ~p. Não esqueça de que os parênteses representam prioridade nos conectivos:

p	q	~p	(p ^ q)	(p ^ q) -> ~p
V	V	F	V	F
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Não se assustem com o tamanho das Tabelas Verdade. É só uma questão de organizar todas as colunas e não se perder ao utilizá-las para escrever os valores. Na tabela acima, determinei os valores de p, q e ~p para usá-los em (p ^ q), e finalmente em (p ^ q) -> ~p .

Abaixo, uma Tabela Verdade que usa três proposições (p, q e s). Nesse caso, o número de linhas é igual a 2³ = 8. Seguindo o mesmo princípio, podemos montar a tabela. A única diferença é que o número de linhas é maior. A proposição é (p -> q) -> s.

p	q	s	(p -> q)	(p -> q) -> s
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	V	V
F	V	F	V	F
F	F	V	V	V
F	F	F	V	F

Na prática: como são 3 proposições, ao invés de começarmos escrevendo V e F duas vezes seguidas na primeira coluna como era feito com 2 proposições, os valores são escritos quatro vezes. Na segunda coluna, são escritos duas vezes. E finalmente, temos a terceira coluna, com a terceira proposição “s”, onde os valores são escritos intercalados. Isso permite que sejam escritas todas as combinações de valores.

postado por: Marcelo Vieira

em: Guanabara.info

[LÓGICA] Introdução, é lógico...

Por: Marcelo Vieira
em: www.guanabara.info

Segundo definição da Wikipedia:

“A lógica (do grego clássico λογική, que significa palavra, pensamento, idéia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico), é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. (…) Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar.”

A Lógica Matemática é o uso da lógica para entender o raciocínio matemático, usando princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos. Ou seja, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração, algo que vai muito além do simples “verdadeiro e falso”.

Esse tipo de raciocínio é mais importante do que parece. Um dos exemplos mais práticos é o uso na programação, nas expressões condicionais. Fica muito mais claro e rápido desenvolver e compreender expressões lógicas. Além disso, desenvolve-se o raciocínio da demonstração - demonstrar um raciocínio logicamente, tanto na informática, na matemática ou no dia-a-dia.

Vou colocar alguns princípios da lógica, pois é algo que realmente vale a pena conhecer.

Proposições

Primeiro, alguns princípios mais simples sobre a lógica. O primeiro deles, o conceito de uma proposição.

Precisamos considerar que uma proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

Ex: Gustavo Guanabara é professor.
O carro da estudande é azul.
O pato está ausente.

Toda proposição pode ser verdadeira, ou pode ser falsa. Não existe uma terceira opção. Esse é o princípio da não-contradição. Além disso, ela não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (isso não é física quântica). Ou seja, Gustavo Guanabara não pode ser e não ser professor ao mesmo tempo. Chamamos isso de princípio do terceiro excluído.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). As proposições simples são sempre indicadas por letras latinas minúsculas, sendo mais comuns as letras p, q, r, s…

Exemplos:

p: ” 3 + 5 = 2 ” ( F )
q: ” 7 + 5 = 12″ ( V)
r: ” O Sol é um planeta” ( F )
s: ” Um pentágono é um polígono de dez lados ” ( F )

Negação

O símbolo ~ representa uma negação lógica, e inverte o valor da proposição. Ou seja, temos a falsidade caso a proposição seja verdadeira e a veracidade se a proposição for falsa.

Se p é verdadeiro, (~p) é falso. Se q é falso, (~q) é verdadeiro.

Logicamente, podemos perceber que negar uma negação é o mesmo que escrever a própria proposição. Imagine o valor de (~(~q))… se estamos negando novamente uma proposição que já foi negada, temos de novo o valor da proposição.

Operações lógicas

Podemos formar novas proposições compostas através de outras proposições através de operações lógicas, usando os chamados conectivos. Os conectivos são símbolos. Veja abaixo:

^(e) - representa uma conjunção
A Terra é redonda e a neve é branca - p ^ q
No caso p e q são conjuntos

v (ou) - representa uma disjunção
A Terra é redonda ou a neve é branca - p v q
No caso p e q são disjuntos

-> (se… então) - representa uma implicação
Se a Terra é redonda, então a neve é branca - p -> q
No caso p é o antecedente e q é o consequente

<-> (se e somente se) - representa uma bi-implicação
A Terra é redonda se e somente se a neve é branca (p<-> q)
No caso p é o antecedente e q é o consequente

Talvez a lógica do “e” do “ou” não seja difícil de compreender, ainda mais para quem já está acostumado com algoritmos e programação.

Na prática, quando temos proposições unidas pelo conectivo “e”, o valor da proposição final é o seguinte:

- Verdadeiro quando somente os valores de todas proposições que a formam forem verdadeiros
- Falso nos demais casos.

Quando o conectivo usado é o “ou“, o valor da proposição final é:

- Verdadeiro quando pelo menos uma proposição é verdadeira,
- Falso quando o valor de todas as proposições é falso.

Tabela Verdade

Conhecendo os valores lógicos das proposições nas operações, podemos fazer uma determinação dos valores lógicos das proposições compostas através da chamada Tabela Verdade.

O procedimento é simples. O número de linhas que a tabela vai ter é sempre igual a 2 elevado ao número de proposições simples que existem na proposição composta. A idéia é sempre ir intercalando os valores de verdadeiro e falso de cada proposição, de forma que tenhamos todas as possibilidades. Veja só:

1- Tabela Verdade de ~ p :

Temos só uma proposição, que é “p”. Então, temos 2¹ = 2 linhas de tabela. Escrevemos os valores possíveis de “p”, e em seguida analisaremos o valor da proposição “~p” de acordo com os valores de “p”.

p	~p
V	F
F	V

Simplesmente negamos o valor de “p” e escrevemos o resultado na coluna da proposição “~p”.

Essa foi bem simples. Uma mais complicada:

2 - Tabela Verdade de (q v p) ^p

São duas proposições, “p” e “q”, então temos 2² = 4 linhas de tabela. Vamos primeiro verificar os valores da primeira operação, entre parênteses, e com os resultados dela analisar a segunda operação, sempre começando escrevendo os valores de cada proposição.

q	p	(q v p)	(q v p) ^p
V	F	V	F
V	V	V	V
F	F	F	F
F	V	V	V

Escrevendo os valores de “p” e de “q”, fizemos os resultados de ” q v p”. E usamos essa coluna de resultados com a dos valores de “p” para fazer “(q v p) ^p”.